導(dǎo)數(shù)題型歸納總結(jié)

導(dǎo)數(shù)題型歸納總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義

函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)：f(x0)=lim

x0

f(x0x)f(x0)y=limx0xx函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在該點處的切線的斜率即kf(x0)求切線方程：先用導(dǎo)數(shù)求斜率，再用點斜式求出切線方程；切點既在直線上又在曲線上注：若過曲線外一點(x1,y1)向曲線作切線，要先設(shè)切點(x0,f(x0))，用

k=f(x0)y1f(x0)

x1x021、若曲線yxaxb在點(0,b)處的切線方程是xy10，則ab

232、若存在過點(1,0)的直線與曲線yx和yax15x9都相切，則a=43、已知yx2x，則過原點(0,0)的切線方程是

34、★已知f(x)x3x，過點A(1,m)(m2)可作yf(x)的三條切線，

32則m的范圍是

，1)的切線方程為（曲線上一點）求過曲線yx32x上的點(1注：過曲線上一點的切線，該點未必是切點2

6、【201*遼寧】已知P,Q為拋物線x=2y上兩點，點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為

(A)1(B)3(C)4(D)8

導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值

1、單調(diào)性問題：y0單調(diào)遞增；y0單調(diào)遞減

求函數(shù)單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)，③y0單調(diào)遞增；y0單調(diào)遞減2、極值問題：左升右降有極大值；左降右升有極小值；極值點的左右兩側(cè)f(x)的符號相反；

f(x)=0的點不一定是極值點，但極值點一定滿足f(x)=0；

求函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)，令f(x)=0，找出所有的駐點；③

第1頁（共6頁）

檢查駐點左右的符號，左正右負(fù)有極大值，左負(fù)右正有極小值；

3、最值問題：函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在極值點或端點處取得最值求函數(shù)最值的步驟：①求函數(shù)的極值，②與函數(shù)的端點值相比較，得到最值；單調(diào)性問題1、函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是

()

A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

2、要使函數(shù)f(x)x23(a1)x2在區(qū)間(,3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

2f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的單調(diào)性a03、【201*廣東】設(shè),討論函數(shù)

4、【201*遼寧】函數(shù)y=

A．(1,1]

最值及其相關(guān)問題

5、求fx

322綜合題1、設(shè)函數(shù)f(x)xaxaxm(a0)

12

xx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）2C．[1,+∞)

D．(0,+∞)

B．(0,1]

13x4x4在0,3的最大值與最小值3（I）若a1時函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，求m的范圍；（II）若函數(shù)f(x)在1,1內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；

（III）若對任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2、設(shè)函數(shù)f(x)13x2ax23a2xb，(0a1,bR)34

若當(dāng)xa1,a2時，恒有f(x)a，試確定a的取值范圍（≤a

3、【201*浙江】已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．（I）若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；（II）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．．．．

4、已知函數(shù)f(x)=ax若在區(qū)間

5、【201*湖北】設(shè)函數(shù)f，gx，其中xR，a、()xx2axbxa()x3x2b為常數(shù)，已知曲線yf(x)與yg(x)在點（2,0）處有相同的切線l。(I)求a、b的值，并寫出切線l的方程；

(II)若方程f()有三個互不相同的實根0、x、x，其中x1x2，且對任意xg()xmx的xx恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。()g()xm(x1)1,x2，fx

326、已知函數(shù)f(x)xaxx1，aR．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間，內(nèi)是減函數(shù)，

322332x1(xR)，其中a0.211,上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.（a的取值范圍為0

函數(shù)圖像有關(guān)問題

1、【201*重慶】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)f(x),且函數(shù)f(x)在x2處取得極

小值,則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是

2、設(shè)函數(shù)fxxsinxcosx的圖像在點t,ft處切線的斜率為k，則函數(shù)kgt的部分圖像為()

3、yf(x則yf(x（）)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，yf(x)的圖象如下圖所示，)的圖象為yyy212O1Ox2xO1yxO12x4、已知二次函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象的大致形狀是（）

y

5、【201*安徽】函數(shù)f(x)axg(x)在區(qū)間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則m，n的值可能是()

mn0.5第4頁（共6頁）xO0.5

（A）m1,n1(B)m1,n2(C)m2,n1(D)m3,n1

綜合問題

21、【201*黃岡中學(xué)高二期中】設(shè)函數(shù)f．(x)(1x)2ln(1x)（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2（II）當(dāng)0

已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，x1,x2，且x1x2，若對任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范圍（m的取值范圍是(,)）

231

7、已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－處的切線的斜率為1．

2

（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；

111

（Ⅱ）證明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）

23n

8、【201*浙江教科院】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三個零點為x1，x2，x3，

且x1＜x2＜x3，則（）

A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2

9、已知mR，函數(shù)f（x）＝mxm11lnx，g(x)lnxx2（I）求g（x）的極小值；

（II）若y＝f(x)一g(x)在［1，＋）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.u.c.o.m

第6頁（共6頁）

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導(dǎo)數(shù)題型歸納總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義

函數(shù)

f(x)在x

0處的導(dǎo)數(shù)：

f(x0)

=lim

x0

f(x0x)f(x0)y=limxx0x函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在該點處的切線的斜率即kf(x0)求切線方程：先用導(dǎo)數(shù)求斜率，再用點斜式求出切線方程；切點既在直線上又在曲線上注：若過曲線外一點(x1,y1)向曲線作切線，要先設(shè)切點(x0,f(x0))，用

k=f(x0)y1f(x0)

x1x021、若曲線yxaxb在點(0,b)處的切線方程是xy10，則ab232、若存在過點(1,0)的直線與曲線yx和yax15x9都相切，則a=43、已知yx2x，則過原點(0,0)的切線方程是

3234、★已知f(x)x3x，過點A(1,m)(m2)可作yf(x)的三條切線，則m的范圍是

，1)的切線方程5、（曲線上一點）求過曲線yx32x上的點(1

注：過曲線上一點的切線，該點未必是切點

6、【201*遼寧】已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點，點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為(A)1(B)3(C)

4(D)8

導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性

y0單調(diào)遞增；y0單調(diào)遞減

極值問題：左升右降有極大值；左降右升有極小值；極值點的左右兩側(cè)f(x)的符號相反；

f(x)=0的點不一定是極值點，但極值點一定滿足f(x)=0；

求函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)，令f(x)=0，找出所有的駐點；③檢查駐點左右的符號，左正右負(fù)有極大值，左負(fù)右正有極小值；函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在極值點或端點處取得最值單調(diào)性問題1、函數(shù)f(x)(x3)e的單調(diào)遞增區(qū)間是

x()

A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

2、要使函數(shù)f(x)x23(a1)x2在區(qū)間(,3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

2f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的單調(diào)性a03、【201*廣東】設(shè),討論函數(shù)

4、【201*遼寧】函數(shù)y=

A．(1,1]

12

xx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）2B．(0,1]

C．[1,+∞)

D．(0,+∞)最值及其相關(guān)問題基礎(chǔ)題：1、求fx13x4x4在0,3的最大值與最小值3

綜合題1、設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2a2xm(a0)

（I）若a1時函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，求m的范圍；（II）若函數(shù)f(x)在1,1內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；

（III）若對任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2、設(shè)函數(shù)f(x)13x2ax23a2xb，(0a1,bR)34

若當(dāng)xa1,a2時，恒有f(x)a，試確定a的取值范圍（≤a

4、已知函數(shù)f(x)=ax若在區(qū)間

5、【201*湖北】設(shè)函數(shù)f，gx，其中xR，a、b()xx2axbxa()x3x2為常數(shù)，已知曲線yf(x)與yg(x)在點（2,0）處有相同的切線l。(I)求a、b的值，并寫出切線l的方程；

(II)若方程f()有三個互不相同的實根0、x、x，其中x1x2，且對任意的xg()xmx322332x1(xR)，其中a0.211,上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.（a的取值范圍為01、當(dāng)x0，求證：e1x（(ex)ex）

x

2、設(shè)函數(shù)f(x)x(x1)ln(x1)(x1).

（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)nm0時，(1n)m(1m)n

本類問題主要是命題人經(jīng)�？疾榈囊活惾�

namb（mn），一般兩邊同時取自然對數(shù)，

mlnanlnb，再利用函數(shù)單調(diào)性，可能還需要構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)圖像

1、【201*重慶】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)f(x),且函數(shù)f(x)在x2處取得極小

值,則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是

2、設(shè)函數(shù)fxxsinxcosx的圖像在點t,ft處切線的斜率為k，則函數(shù)kgt的

部分圖像為()

3、yf(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，yf(x)的圖象如下圖所示，則yf(x)的圖象為（）yyy

4、已知二次函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象的大致形狀是（）

O12yxO12x2O1xO12x

5、【201*安徽】函數(shù)f(x)axg(x)在區(qū)間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則m，n的值可能是()

（A）m1,n1(B)m1,n2(C)m2,n1(D)m3,n1mny0.5xO0.5綜合問題

21、【201*黃岡中學(xué)高二期中】設(shè)函數(shù)f．(x)(1x)2ln(1x)（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2（II）當(dāng)0

5、【201*江西】已知函數(shù)f(x)(ax2bxc)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿足

f(0)1,f(0)0.

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)g(x)f(x)f(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.

6、設(shè)函數(shù)f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m03已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，x1,x2，且x1x2，若對任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范圍（m的取值范圍是(,)）

23

1

7、已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－處的切線的斜率為1．

2

（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；

111（Ⅱ）證明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）

23n

8、【201*浙江教科院】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三個零點為x1，x2，x3，

且x1＜x2＜x3，則（）A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2

9、已知mR，函數(shù)f（x）＝mxm11lnx，g(x)lnxx2（I）求g（x）的極小值；

（II）若y＝f(x)一g(x)在［1，＋）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.u.c.o.m

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