導(dǎo)數(shù)大題方法總結(jié)

導(dǎo)數(shù)大題方法總結(jié)

一總論

一般來說，導(dǎo)數(shù)的大題有兩到三問。每一個小問的具體題目雖然并不固定，但有相當(dāng)?shù)囊?guī)律可循，所以在此我進(jìn)行了一個答題方法的總結(jié)。二主流題型及其方法

*（1）求函數(shù)中某參數(shù)的值或給定參數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)或切線

一般來說，一到比較溫和的導(dǎo)數(shù)題的會在第一問設(shè)置這樣的問題：若f(x)在x=k時(shí)取得極值，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值；或者是f(x)在(a,f(a))處的切線與某已知直線垂直，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值等等很多條件。雖然會有很多的花樣，但只要明白他們的本質(zhì)是考察大家求導(dǎo)數(shù)的能力，就會輕松解決。這一般都是用來送分的，所以遇到這樣的題，一定要淡定，方法是：

先求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用題目所給的已知條件，以上述第一種情形為例：令x=k，f(x)的導(dǎo)數(shù)為零，求解出函數(shù)中所含的參數(shù)的值，然后檢驗(yàn)此時(shí)是否為函數(shù)的極值。

注意：①導(dǎo)函數(shù)一定不能求錯，否則不只第一問會掛，整個題目會一并掛掉。保證自己求導(dǎo)不會求錯的最好方法就是求導(dǎo)時(shí)不要光圖快，一定要小心謹(jǐn)慎，另外就是要將導(dǎo)數(shù)公式記牢，不能有馬虎之處。②遇到例子中的情況，一道要記得檢驗(yàn)，尤其是在求解出來兩個解的情況下，更要檢驗(yàn)，否則有可能會多解，造成扣分，得不償失。所以做兩個字來概括這一類型題的方法就是：淡定。別人送分，就不要客氣。③求切線時(shí)，要看清所給的點(diǎn)是否在函數(shù)上，若不在，要設(shè)出切點(diǎn)，再進(jìn)行求解。切線要寫成一般式。

*（2）求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn)和最值

一般這一類題都是在函數(shù)的第二問，有時(shí)也有可能在第一問，依照題目的難易來定。這一類題問法都比較的簡單，一般是求f(x)的單調(diào)（增減）區(qū)間或函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極大（�。┲祷蚴腔\統(tǒng)的函數(shù)極值。一般來說，由于北京市高考不要求二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，所以這類題目也是送分題，所以做這類題也要淡定。這類問題的方法是：

首先寫定義域，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且進(jìn)行通分，變?yōu)榧俜质叫问健Ｍ�下一般有兩類思路，一是走一步看一步型，在行進(jìn)的過程中，一點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)參數(shù)應(yīng)該討論的范圍，一步步解題。這種方法個人認(rèn)為比較累，而且容易丟掉一些情況沒有進(jìn)行討論，所以比較推薦第二種方法，就是所謂的一步到位型，先通過觀察看出我們要討論的參數(shù)的幾個必要的臨介值，然后以這些值為分界點(diǎn)，分別就這些臨界點(diǎn)所分割開的區(qū)間進(jìn)行討論，這樣不僅不會漏掉一些對參數(shù)必要的討論，而且還會是自己做題更有條理，更為高效。

極值的求法比較簡單，就是在上述步驟的基礎(chǔ)上，令導(dǎo)函數(shù)為零，求出符合條件的根，然后進(jìn)行列表，判斷其是否為極值點(diǎn)并且判斷出該極值點(diǎn)左右的單調(diào)性，進(jìn)而確定該點(diǎn)為極大值還是極小值，最后進(jìn)行答題。

最值問題是建立在極值的基礎(chǔ)之上的，只是有些題要比較極值點(diǎn)與邊界點(diǎn)的大小，不能忘記邊界點(diǎn)。注意:①要注意問題，看題干問的是單調(diào)區(qū)間還是單調(diào)性，極大值還是極小值，這決定著你最后如何答題。還有最關(guān)鍵的，要注意定義域，有時(shí)題目不會給出定義域，這時(shí)就需要你自己寫出來。沒有注意定義域問題很嚴(yán)重。②分類要準(zhǔn)，不要慌張。③求極值一定要列表，不能使用二階導(dǎo)數(shù)，否則只有做對但不得分的下場。

*（3）恒成立或在一定條件下成立時(shí)求參數(shù)范圍這類問題一般都設(shè)置在導(dǎo)數(shù)題的第三問，也就是最后一問，屬于有一定難度的問題。這就需要我們一定的綜合能力。不僅要對導(dǎo)數(shù)有一定的理解，而且對于一些不等式、函數(shù)等的知識要有比較好的掌握。這一類題目不是送分題，屬于扣分題，但掌握好了方法，也可以百發(fā)百中。方法如下：

做這類恒成立類型題目或者一定范圍內(nèi)成立的題目的核心的四個字就是：分離變量。一定要將所求的參數(shù)分離出來，否則后患無窮。有些人總是認(rèn)為不分離變量也可以做。一些簡單的題目誠然可以做，但到了真正的難題，分離變量的優(yōu)勢立刻體現(xiàn)，它可以規(guī)避掉一些極為繁瑣的討論，只用一些簡單的代數(shù)變形可以搞定，而不分離變量就要面臨著極為麻煩的討論，不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且還容易出差錯。所以面對這樣的問題，分離變量是首選之法。當(dāng)然有的題確實(shí)不能分離變量，那么這時(shí)就需要我們的觀察能力，如果還是沒有簡便方法，那么才會進(jìn)入到討論階段。

分離變量后，就要開始求分離后函數(shù)的最大或者最小值，那么這里就要重新構(gòu)建一個函數(shù)，接下來的步驟就和（2）中基本相同了。

注意：①分離時(shí)要注意不等式的方向，必要的時(shí)候還是要討論。②要看清是求分離后函數(shù)的最大值還是最小值，否則容易搞錯。③分類要結(jié)合條件看，不能拋開大前提自己胡搞一套。

最后，這類題還需要一定的不等式知識，比如均值不等式，一些高等數(shù)學(xué)的不等數(shù)等等。這就需要我們有足夠的知識儲備，這樣做起這樣的題才能更有效率。（4）構(gòu)造新函數(shù)對新函數(shù)進(jìn)行分析這類題目題型看似復(fù)雜，但其實(shí)就是在上述問題之上多了一個步驟，就是將上述的函數(shù)轉(zhuǎn)化為了另一個函數(shù)，并沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以這里不再贅述。（5）零點(diǎn)問題這類題目在選擇填空中更容易出現(xiàn)，因?yàn)檫@類問題雖然不難，但要求學(xué)生對與極值和最值問題有更好的了解，它需要我們結(jié)合零點(diǎn)，極大值極小值等方面綜合考慮，所以更容易出成填空題和選擇題。如果出成大題，大致方法如下：先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分析求解出函數(shù)的極大值與極小值，然后結(jié)合題目中所給的信息與條件，求出在特定區(qū)間內(nèi)，極大值與極小值所應(yīng)滿足的關(guān)系，然后求解出參數(shù)的范圍。三總結(jié)

以上就是導(dǎo)數(shù)大題的主要題型及方法，當(dāng)然有很多題型不能完全的照顧到，有很多的創(chuàng)新題型沒有涉及，那么如何解決這個問題呢？就是我們要明白導(dǎo)數(shù)題的核心是什么。導(dǎo)數(shù)題的核心就是參數(shù)，就是對參數(shù)的把握，而對參數(shù)的理解與分析正是每一道題目的核心。只要我們能夠從參數(shù)入手，能夠?qū)�參�?shù)進(jìn)行分析，那么不論一道題有多么的繁瑣，我們都能夠把握這道題的主線，能有一個明確的脈絡(luò)，做出題目。所以我總結(jié)的導(dǎo)數(shù)題的八字大綱，不一定對，但我認(rèn)為對于解決北京市的高考題有一定的幫助，那就是“分離變量，一步到位”。一切的一切，都應(yīng)該圍繞著參量來展開。相信導(dǎo)數(shù)雖然是第18或者19題，但也一定會被我們大家淡定的斬于馬下。郭子豪

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中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！導(dǎo)數(shù)解答題歸納總結(jié)

19.（201*浙江文）（本題滿分15分）已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．（I）若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3，求a,b的值；（II）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．．．．解析（Ⅰ）由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2)又f(0)b0f(0)a(a2)3，解得b0，a3或a1

（Ⅱ）函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)不單調(diào)，等價(jià)于

導(dǎo)函數(shù)f(x)在(1,1)既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)即函數(shù)f(x)在(1,1)上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有

f(1)f(1)0，即：[32(1a)a(a2)][32(1a)a(a2)]0整理得：(a5)(a1)(a1)20，解得5a120.（201*北京文）（本小題共14分）

設(shè)函數(shù)f(x)x33axb(a0).

（Ⅰ）若曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).

解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能

力．（Ⅰ）f"x3x23a,

∵曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y8相切，

"a4,f2034a0∴

b24.86ab8f28（Ⅱ）∵f"x3x2aa0,

"當(dāng)a0時(shí)，fx0，函數(shù)

f(x)在,上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn).當(dāng)a0時(shí)，由f"x0"xa，

f(x)單調(diào)遞增，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x,a時(shí)，f當(dāng)xa,a時(shí)，f當(dāng)xx0，函數(shù)x0，函數(shù)

"a,時(shí)，f"x0，函數(shù)

f(x)單調(diào)遞增，

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！∴此時(shí)xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x21.（201*北京理）（本小題共13分）

設(shè)函數(shù)f(x)xekx(k0)

a是f(x)的極小值點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.

解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查

綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）f"x1kxekx,f"01,f00,

曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為yx.（Ⅱ）由f"x1kxekx0，得x"1kk0，

若k0，則當(dāng)x,11時(shí)，fkx0，函數(shù)fx單調(diào)遞減，

當(dāng)x,,時(shí)，fk"x0，函數(shù)fx單調(diào)遞增，

1時(shí)，fk"若k0，則當(dāng)x,1,,時(shí)，fkx0，函數(shù)fx單調(diào)遞增，

當(dāng)x"x0，函數(shù)fx單調(diào)遞減，

1k1，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，則當(dāng)且僅當(dāng)即k1時(shí)，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞增，若k0，則當(dāng)且僅當(dāng)1k1，

即k1時(shí)，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞增，

綜上可知，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是1,00,1.22.(201*山東卷文)（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)13axbxx3,其中a0

32（1）當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)取得極值?

（2）已知a0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,試用a表示出b的取值范圍.

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！解:(1)由已知得f"(x)ax22bx1,令f"(x)0,得ax22bx10,

f(x)要取得極值,方程ax2bx10必須有解,

2所以△4b24a0,即b2a,此時(shí)方程ax22bx10的根為

2b4b4a2a2x1bbaa2,x22b4b4a2a2bbaa2,

所以f"(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)a0時(shí),

xf’(x)f(x)

(-∞,x1)＋增函數(shù)

x10極大值

(x1,x2)－減函數(shù)

x20極小值

(x2,+∞)＋增函數(shù)

所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)a0時(shí),

xf’(x)f(x)

(-∞,x2)－減函數(shù)

x20極小值

(x2,x1)＋增函數(shù)

x10極大值

(x1,+∞)－減函數(shù)

所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)a,b滿足b2a時(shí),f(x)取得極值.

(2)要使f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,需使f"(x)ax2bx10在(0,1]上恒成立.即bax212x,x(0,1]恒成立,所以b(22ax212x)max

設(shè)g(x)ax212x,g"(x)1aa212x2a(x2x21a,

)令g"(x)0得x或x1a1a(舍去),

當(dāng)a1時(shí),01a1,當(dāng)x(0,)時(shí)g"(x)0,g(x)ax212x單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)x(1a,1]時(shí)g"(x)0,g(x)ax212x單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)x1a時(shí),g(x)取得最大,最大值為g(1a)a.所以ba中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！當(dāng)0a1時(shí),

1a1,此時(shí)g"(x)0在區(qū)間(0,1]恒成立,所以g(x)a12a12ax212x在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,當(dāng)x1時(shí)g(x)最大,最大值為g(1),所以b

a1綜上,當(dāng)a1時(shí),ba;當(dāng)0a1時(shí),b2

【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.22.設(shè)函數(shù)f(x)13x(1a)x4ax24a，其中常數(shù)a>1

32(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

解析本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解析（I）f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)

由a1知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，故f(x)在區(qū)間(,2)是增函數(shù)；當(dāng)2x2a時(shí)，f(x)0，故f(x)在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)；當(dāng)x2a時(shí)，f(x)0，故f(x)在區(qū)間(2a,)是增函數(shù)。

綜上，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在區(qū)間(,2)和(2a,)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)。（II）由（I）知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)在x2a或x0處取得最小值。

f(2a)13(2a)(1a)(2a)4a2a24a

23243a4a24a

3f(0)24a

由假設(shè)知

a1,a14f(2a)0,即a(a3)(a6)0,解得1中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！f(x)g(x)x．

（1）若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為2，求m的值；（2）k(kR)如何取值時(shí)，函數(shù)yf(x)kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

解析（1）依題可設(shè)g(x)a(x1)2m1(a0)，則g"(x)2a(x1)2ax2a；又gx的圖像與直線y2x平行2a2a1g(x)(x1)m1x2xm，fx22gxxmx02xmx2，

222設(shè)Pxo,yo，則|PQ|2x0(y02)x0(x0)

2x20mx2202m22m22m22|m|2m

當(dāng)且僅當(dāng)2x20mx220時(shí)，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值2

當(dāng)m0時(shí)，(222)m當(dāng)m0時(shí)，(222)m2解得m21

2解得m21

mxm220(x0)，得1kx2xm0*

2（2）由yfxkx1kx當(dāng)k1時(shí)，方程*有一解x，函數(shù)yfxkx有一零點(diǎn)xm2；

當(dāng)k1時(shí)，方程*有二解44m1k0，

若m0，k11m，

244m(1k)2(1k)函數(shù)yfxkx有兩個零點(diǎn)x，即

x11m(1k)k11m；，

244m(1k)2(1k)11m(1k)k1若m0，k1函數(shù)yfxkx有兩個零點(diǎn)x，即x1m；

當(dāng)k1時(shí)，方程*有一解44m1k0,k1函數(shù)yfxkx有一零點(diǎn)x

,

1k1m中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！綜上，當(dāng)k1時(shí),函數(shù)yfxkx有一零點(diǎn)x當(dāng)k11mm2；

(m0)，或k11m（m0）時(shí)，11m(1k)k11k1函數(shù)yfxkx有兩個零點(diǎn)x當(dāng)k11m；

m.

時(shí)，函數(shù)yfxkx有一零點(diǎn)x24.（201*安徽卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x2xa(2lnx),(a0)，討論f(x)的單調(diào)性.

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。

本小題滿分12分。

解析f(x)的定義域是(0,+),f(x)12x2axxax2x22.

設(shè)g(x)x2ax2,二次方程g(x)0的判別式a28.

當(dāng)a280，即0a22時(shí)，對一切x0都有f(x)0,此時(shí)f(x)在(0,)上是增函數(shù)。①當(dāng)a280,即a22時(shí)，僅對x2有f(x)0,對其余的x0都有

f(x)0,此時(shí)f(x)在(0,)上也是增函數(shù)。

①當(dāng)a280，即a22時(shí)，

aa82(x1,x2)

2方程g(x)0有兩個不同的實(shí)根x1x

f(x)f(x)

(0,x1)

x1

,x2aa822,0x1x2.

x2(x2,)

+單調(diào)遞增

a20極大a82_單調(diào)遞減

0極小a2+單調(diào)遞增

22此時(shí)f(x)在(0,調(diào)遞增.

)上單調(diào)遞增,在(a8aa8aa8,)是上單調(diào)遞減,在(,)上單

22225.（201*安徽卷文）（本小題滿分14分）

已知函數(shù)（Ⅰ）討論

的單調(diào)性；

在區(qū)間{1，

，a＞0，

（Ⅱ）設(shè)a=3，求}上值域。期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)。

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！【思路】由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時(shí)要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)f(x)在1,e2上的值域。

解析(1)由于f(x)1令t1x22x2ax

得y2tat1(t0)

①當(dāng)a280,即0a22時(shí),f(x)0恒成立.

f(x)在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函數(shù).

②當(dāng)a280,即a22時(shí)

由2tat10得t2aa842或taa824a842

0xaa842或x0或x2a22又由2tat0得

2aa84taa842aa82xaa82

綜上①當(dāng)0a22時(shí),f(x)在(,0)及(0,)上都是增函數(shù).

aa8aa8,)上是減函數(shù),

2222②當(dāng)a22時(shí),f(x)在(在(,0)(0,aa822)及(aa822,)上都是增函數(shù).

(2)當(dāng)a3時(shí),由(1)知f(x)在1,2上是減函數(shù).

2上是增函數(shù).在2,e22又f(1)0,f(2)23ln20f(e)e2e250

22上的值域?yàn)?3ln2,e2251,e函數(shù)f(x)在e26.（201*江西卷文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)x392x6xa．

2（1）對于任意實(shí)數(shù)x，f(x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)0有且僅有一個實(shí)根，求a的取值范圍．

解析(1)f(x)3x9x63(x1)(x2),

因?yàn)閤(,),f(x)m,即3x9x(6m)0恒成立,

"2"中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！所以8112(6m)0,得m34，即m的最大值為34

(2)因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),f"(x)0;當(dāng)1x2時(shí),f"(x)0;當(dāng)x2時(shí),f"(x)0;所以當(dāng)x1時(shí),f(x)取極大值f(1)52a;

當(dāng)x2時(shí),f(x)取極小值f(2)2a;

故當(dāng)f(2)0或f(1)0時(shí),方程f(x)0僅有一個實(shí)根.解得a2或a27.（201*江西卷理）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)ex52.

x

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(1)若k0，求不等式f"(x)k(1x)f(x)0的解集．解析(1)f(x)"1x2ex1xexx1x2"e,由f(x)0,得x1.

x因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),f"(x)0；當(dāng)0x1時(shí),f"(x)0；當(dāng)x1時(shí),f"(x)0；所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是:[1,)；單調(diào)減區(qū)間是:(,0)，(0,1].

x1kxkxx22(2)由f(x)k(1x)f(x)得：(x1)(kx1)0.

"ex(x1)(kx1)x2e0,

x故：當(dāng)0k1時(shí),解集是：{x1x當(dāng)k1時(shí)，解集是：；當(dāng)k1時(shí),解集是：{x1kx1}.

1k}；

28.（201*天津卷文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)13xx(m3221)x,(xR,)其中m0

（Ⅰ）當(dāng)m1時(shí)，曲線yf(x)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點(diǎn)0，x1,x2，且x1x2。若對任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范圍。

答案（1）1（2）f(x)在(,1m)和(1m,)內(nèi)減函數(shù)，在(1m,1m)內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)f(x)在x1m處取得極大值f(1m)，且f(1m)=

23mm3213

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m)，且f(1m)=解析解析當(dāng)m1時(shí)，f(x)1332/223mm"3213

xx,f(x)x2x,故f(1)1

所以曲線yf(x)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1.

（2）解析f"(x)x22xm21，令f"(x)0，得到x1m,x1m因?yàn)閙0,所以1m1m

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f"(x)的變化情況如下表：

x

f(x)

"(,1m)

1m

(1m,1m)

1m

(1m,)

+0極小值

-

0極大值

+

f(x)

f(x)在(,1m)和(1m,)內(nèi)減函數(shù)，在(1m,1m)內(nèi)增函數(shù)。

函數(shù)f(x)在x1m處取得極大值f(1m)，且f(1m)=

23mm23332213

函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m)，且f(1m)=（3）解析由題設(shè)，f(x)x(所以方程m121322mm1313xxm221)13x(xx1)(xx2)

43(m2xxm1=0由兩個相異的實(shí)根x1,x2，故x1x23，且1121)0，解得

(舍)，m

321

因?yàn)閤1x2,所以2x2x1x23,故x2若x11x2,則f(1)13(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合題意

若1x1x2,則對任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,則f(x)13x(xx1)(xx2)0又f(x1)0，所以函數(shù)f(x)在x[x1,x2]的最小值為0，于是對任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要條件是f(1)m20,解得33m33

綜上，m的取值范圍是(,2133)

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。

30.(201*湖北卷理)(本小題滿分14分)（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．在R上定義運(yùn)算:pq

132。記f12c，f22b，pcqb4bc（b、c為實(shí)常數(shù)）中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！R.令ff1f2.

如果函數(shù)f在1處有極什43,試確定b、c的值；

求曲線yf上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；記gx解fx|1x1的最大值為M.若Mk對任意的b、c恒成立，試示k的最大值。

當(dāng)b1時(shí)，函數(shù)yf(x)得對稱軸x=b位于區(qū)間[1,1]之外此時(shí)Mmax{g(1),g(1),g(b)}

由f(1)f(1)4b,有f(b)f(1)(bm1)20

①若1b0,則f(1)f(-1)f(b),g(-1)max{g(1),g(b)}于是Mmax{f(1),f(b)}12(f(1)f(b))12(f(1)f(b))12(b1)

2①若0b1，則f(=1)f(1)f(b)，g(1)max{g(1),g(b)}于是

Mmax{f(1),f(b)}12(f(1)f(b))1212(f(1)f(b))12(b1)212

綜上，對任意的b、c都有M12

121而當(dāng)，b0,c時(shí)，g(x)x2在區(qū)間[1,1]上的最大值M12

故MK對任意的b，c恒成立的k的最大值為31.（201*四川卷文）（本小題滿分12分）

2

已知函數(shù)f(x)x2bxcx2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y5x10。（I）求函數(shù)f(x)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)g(x)f(x)量x的值.

解析（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有f(2)0,即4bc30……①

2又f(x)3x4bxc，由已知f(2)128bc5得8bc70……②

3213mx，若g(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變

聯(lián)立①②，解得b1,c1.

所以函數(shù)的解析式為f(x)x2xx2…………………………………4分（II）因?yàn)間(x)x2xx2323213mx

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！令g(x)3x24x113m0

13m0有實(shí)數(shù)解，

當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則0，方程3x24x1由4(1m)0，得m1.①當(dāng)m1時(shí)，g(x)0有實(shí)數(shù)x23

，在x23左右兩側(cè)均有g(shù)(x)0，故函數(shù)g(x)無極值

②當(dāng)m1時(shí)，g(x)0有兩個實(shí)數(shù)根

x113(21m),x213(21m),g(x),g(x)情況如下表：

x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2)g(x)g(x)+0極大值-0極小值+所以在m(,1)時(shí)，函數(shù)g(x)有極值；當(dāng)x13(21m)時(shí)，g(x)有極大值；當(dāng)x13(21m)時(shí)，g(x)有極小值；

…………………………………12分

32.（201*全國卷Ⅱ理）(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)fxxaIn1x有兩個極值點(diǎn)x1、x2，且x1x2

2（I）求a的取值范圍，并討論fx的單調(diào)性；（II）證明：fx212In24解:（I）fx2xa1x2x2xa1x2(x1)

2令g(x)2x2xa，其對稱軸為x12。由題意知x1、x2是方程g(x)0的兩個均大于1的不相等的實(shí)根，

12其充要條件為48a0g(1)a0，得0a

⑴當(dāng)x(1,x1)時(shí)，fx0,f(x)在(1,x1)內(nèi)為增函數(shù)；

⑵當(dāng)x(x1,x2)時(shí)，fx0,f(x)在(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù)；⑶當(dāng)x(x2,)時(shí)，fx0,f(x)在(x2,)內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I）g(0)a0,212x20，a(2x2222+2x2)

fx2x2aln1x2x2(2x2+2x2)ln1x2

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！設(shè)hxx2(2x22x)ln1x(x12)，

則hx2x2(2x1)ln1x2x2(2x1)ln1x⑴當(dāng)x(12,0)時(shí)，hx0,h(x)在[12,0)單調(diào)遞增；

⑵當(dāng)x(0,)時(shí)，hx0，h(x)在(0,)單調(diào)遞減。

當(dāng)x(12,0)時(shí),hxh(12In2412)12ln24

故fx2h(x2)．

33.（201*湖南卷文）（本小題滿分13分）

已知函數(shù)f(x)x3bx2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在xt處取得最小值，記此極小值為g(t)，求g(t)的定義域和值域。解:（Ⅰ）f(x)3x22bxc.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以2b62，于是b6.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)x36x2cx，f(x)3x212xc3(x2)2c12.（）當(dāng)c12時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)無極值。

（ii）當(dāng)c中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！已知函數(shù)f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令a1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值，記點(diǎn)M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

x1mx2,請仔細(xì)觀察曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：

（I）若對任意的m(x1,x2)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；（II）若存在點(diǎn)Q(n,f(n)),xn

(Ⅰ)依題意,得f"(x)x22axb由f"(1)12ab0得b2a1.從而f(x)13xax(2a1)x,故f"(x)(x1)(x2a1).

32令f"(x)0,得x1或x12a.

①當(dāng)a>1時(shí),12a1

當(dāng)x變化時(shí)，f"(x)與f(x)的變化情況如下表：

x

f"(x)f(x)

(,12a)

(12a,1)

(1,)

+單調(diào)遞增

－單調(diào)遞減

+單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單調(diào)減區(qū)間為(12a,1)。

②當(dāng)a1時(shí)，12a1此時(shí)有f"(x)0恒成立，且僅在x1處f"(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R③當(dāng)a1時(shí)，12a1同理可得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,12a)

綜上：

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單調(diào)減區(qū)間為(12a,1)；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,12a).(Ⅱ)由a1得f(x)13xx3x令f(x)x2x30得x11,x23

322由（1）得f(x)增區(qū)間為(,1)和(3,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)，所以函數(shù)f(x)在處x11,x23取得極值，

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！故M（1,53）N（3,9）。

觀察f(x)的圖象，有如下現(xiàn)象：

①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線f(x)在點(diǎn)P處切線的斜率f(x)之差Kmp-f"(m)的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。

②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－f"(m)的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；

③Kmp－f"(m)=0對應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測：滿足Kmp－f"(m)的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線f(x)在點(diǎn)P(m,f(m))處的切線斜率f"(m)m22m3；

m4m532線段MP的斜率Kmp

當(dāng)Kmp－f"(m)=0時(shí)，解得m1或m2

m4m532直線MP的方程為y(xm4m32)

令g(x)f(x)(m4m532xm4m32)

當(dāng)m2時(shí)，g"(x)x22x在(1,2)上只有一個零點(diǎn)x0，可判斷f(x)函數(shù)在(1,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，又g(1)g(2)0，所以g(x)在(1,2)上沒有零點(diǎn)，即線段MP與曲線f(x)沒有異于M，P的公共點(diǎn)。

當(dāng)m2,3時(shí)，g(0)m4m320.g(2)(m2)0

2所以存在m0,2使得g()0

即當(dāng)m2,3時(shí),MP與曲線f(x)有異于M,P的公共點(diǎn)

綜上，t的最小值為2.

（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為1,3解法二：（1）同解法一.

（2）由a1得f(x)13xx3x，令f"(x)x2x30，得x11,x23

322由（1）得的f(x)單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(3,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)，所以函數(shù)在處取得極值。故M(1,53).N(3,9)

m4m532(Ⅰ)直線MP的方程為y

xm4m32.中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！22m4m5m4myx33由y1x3x23x3

得x33x2(m24m4)xm24m0

線段MP與曲線f(x)有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)

g(x)x3x(m4m4)xm4m在(-1,m)上有零點(diǎn).

3222因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù),所以g(x)至多有三個零點(diǎn),兩個極值點(diǎn).

又g(1)g(m)0.因此,g(x)在(1,m)上有零點(diǎn)等價(jià)于g(x)在(1,m)內(nèi)恰有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn),即

g"(x)3x26x(m24m4)0在(1,m)內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.

＝3612（m24m4）＞01m5等價(jià)于3(1)26(m24m4)0即m2或m1,解得2m5

3m2

6m(m24m4)0m1m1又因?yàn)?m3,所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.36.（201*遼寧卷文）（本小題滿分12分）

設(shè)f(x)ex(ax2x1)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。(2)求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；(1)證明：當(dāng)[0,2]時(shí)，f(cos)f(sin)2

解析（Ⅰ）f"(x)ex(ax2x12ax1).有條件知，

f"(1)0，故a32a0a1.f"(x)ex(x2x2)exx(x2)(.1)故當(dāng)x(,2)(1,)時(shí)，f"(x)＜0；

當(dāng)x(2,1)時(shí)，f"(x)＞0.

從而f(x)在(,2)，(1,)單調(diào)減少，在(2,1)單調(diào)增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]單調(diào)增加，故f(x)在[0,1]的最大值為f(1)e，最小值為f(0)1.

從而對任意x1，x2[0,1]，有f(x1)f(x2)e12.………10分而當(dāng)[0,2]時(shí)，cos,sin[0,1].

從而f(cos)f(sin)2………12分37.（201*遼寧卷理）（本小題滿分12分）

……2分于是

…中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！已知函數(shù)f(x)=

12x2－ax+(a－1)lnx，a1。

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：若a5，則對任意xf(x1)f(x2)1，x2(0,)，x1x2，有x1x1。

2解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,)。

f"(x)xaa1x2axa1xx(x1)(x1a)x2分

（i）若a11即a2,則f"(x)(x1)2x

故f(x)在(0,)單調(diào)增加。

(ii)若a11,而a1,故1a2,則當(dāng)x(a1,1)時(shí)，f"(x)0;當(dāng)x(0,a1)及x(1,)時(shí)，f"(x)0

故f(x)在(a1,1)單調(diào)減少，在(0,a1),(1,)單調(diào)增加。

(iii)若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)單調(diào)減少，在(0,1),(a1,)單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)g(x)f(x)x

122xax(a1)lnxx

則g(x)x(a1)a1x2xga1x(a1)1(a11)2

由于1中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情�。�6.

（21）解析

（Ⅰ）當(dāng)ab3時(shí)，f(x)(x33x23x3)ex，故

f"(x)(x3x3x3)eex32x(3x6x3)e2x

(x39x)

xx(x3)(x3)e

當(dāng)x3或0x3時(shí)，f"(x)0;當(dāng)3x0或x3時(shí)，f"(x)0.

從而f(x)在(,3),(0,3)單調(diào)增加，在（3，單調(diào)減少.0），（3，）(Ⅱ)f"(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exex[x3(a6)xba].由條件得：f"(2)0,即232(a6)ba0,故b4a,從而

f"(x)e[x(a6)x42a].

x3因?yàn)閒"()f"()0,所以

x(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)(x()x).

23將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，2,a2.故

()42124a.

又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6.

于是6.

39.（201*陜西卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x3ax1,a0

3求若

f(x)的單調(diào)區(qū)間；

f(x)在x1處取得極值，直線y=my與yf(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。

"22解析（1）f(x)3x3a3(xa),

"當(dāng)a0時(shí)，對xR，有f(x)0,

當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,)

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！當(dāng)a0時(shí)，由f"(x)0解得xa或x由f"(x)0解得axa，

a；

當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,a),(a,)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a,a)。（2）因?yàn)閒(x)在x1處取得極大值，所以f"(1)3(1)23a0,a1.所以f(x)x33x1,f"(x)3x23,由f"(x)0解得x11,x21。

由（1）中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3。

因?yàn)橹本�ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，又f(3)193，f(3)171，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(3,1)。40.(201*陜西卷理)（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)ln(ax1)1x1x,x0，其中a0

若求

f(x)在x=1處取得極值，求a的值；

f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若f(x)的最小值為1，求a的取值范圍。

解（Ⅰ）f"(x)aax12(1x)2axa2(ax1)(1x)22,

21a20,解得a1.∵f(x)在x=1處取得極值，∴f"(1)0,即a（Ⅱ）f"(x)axa2(ax1)(1x)22,

∵x0,a0,∴ax10.

①當(dāng)a2時(shí)，在區(qū)間(0,)上，f"(x)0,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,).②當(dāng)0a2時(shí)，由f"(x)0解得x2aa,由f"(x)0解得x2aa,

∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為（0，

2-aa),單調(diào)增區(qū)間為（2-aa，）.中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情�。á螅┊�(dāng)a2時(shí)，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值為f(0)1;

2aa2aa當(dāng)0a2時(shí)，由（Ⅱ）②知，f(x)在x處取得最小值f()f(0)1,

綜上可知，若f(x)得最小值為1，則a的取值范圍是[2,).41.（201*四川卷文）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)x32bx2cx2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y5x10。（I）求函數(shù)f(x)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)g(x)f(x)量x的值.

解析（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有f(2)0,即4bc30……①又f(x)3x24bxc，由已知f(2)128bc5得8bc70……②聯(lián)立①②，解得b1,c1.

所以函數(shù)的解析式為f(x)x32x2x2…………………………………4分（II）因?yàn)間(x)x2xx2令g(x)3x4x123213mx，若g(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變

13mx

13m0

13m0有實(shí)數(shù)解，

2當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則0，方程3x4x1

由4(1m)0，得m1.①當(dāng)m1時(shí)，g(x)0有實(shí)數(shù)x23，在x1323左右兩側(cè)均有g(shù)(x)0，故函數(shù)g(x)無極值

1m),x213(21m),g(x),g(x)情況如下表：

②當(dāng)m1時(shí)，g(x)0有兩個實(shí)數(shù)根x1x(,x1)(2x1(x1,x2)x2(x2)g(x)g(x)+0極大值-0極小值+所以在m(,1)時(shí)，函數(shù)g(x)有極值；當(dāng)x13(21m)時(shí)，g(x)有極大值；當(dāng)x13(21m)時(shí)，g(x)有極小值；

…………………………………12分

42.（201*湖北卷文）（本小題滿分14分）

已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝

13x3＋bx2＋cx＋bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)＝f+(x),中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-43，試確定b、c的值：

（Ⅱ）若b>1,證明對任意的c,都有M>2:

(Ⅲ)若MK對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力和份額類討論的思想（滿分14分）

2（I）解析f"(x)x2bx，由cf(x)在x1處有極值43

f"(1)12bc0可得14

f(1)bcbc33解得b1b1,或

c1c3若b1,c1，則f"(x)x22x1(x1)20，此時(shí)f(x)沒有極值；若b1,c3，則f"(x)x22x3(x1)(x1)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f"(x)的變化情況如下表：x

f"(x)f(x)

(,3)

3

(3,1)

10極大值43(1,)

0極小值12

43+

當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極大值，故b1，c3即為所求。

22（Ⅱ）證法1：g(x)|f"(x)||(xb)bc|

當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yf"(x)的對稱軸xb位于區(qū)間[1.1]之外。

f"(x)在[1,1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得

故M應(yīng)是g(1)和g(1)中較大的一個

2Mg(1)g(1)|12bc||12bc||4b|4,即M2

證法2（反證法）：因?yàn)閨b|1，所以函數(shù)yf"(x)的對稱軸xb位于區(qū)間[1,1]之外，

f"(x)在[1,1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得。

故M應(yīng)是g(1)和g(1)中較大的一個假設(shè)M2，則

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！g(1)|12bc|2g(1)|12bc|2

將上述兩式相加得：

4|12bc||12bc|4|b|4，導(dǎo)致矛盾，M2

（Ⅲ）解法1：g(x)|f"(x)||(xb)2b2c|（1）當(dāng)|b|1時(shí)，由（Ⅱ）可知M2；

（2）當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yf"(x）的對稱軸xb位于區(qū)間[1,1]內(nèi)，

此時(shí)Mmaxg(1),g(1),g(b)

由f"(1)f"(1)4b,有f"(b)f"(1)b(1)20

①若1b0,則f"(1)f"(1)f"(b),g(1)maxg(1),g(b)，于是Mmax|f"(1),|f"(b)|12(|f"(1)|f"(b)|)12|f"(1)f"(b)|12(b1)212

②若0b1，則f"(1)f"(1)f"(b),g(1)maxg(1),g(b)于是Mmax|f"(1)|,|f"(b)|綜上，對任意的b、c都有M1212(|f"(1)||f"(b)|)12|f"(1)f"(b)|12(b1)212

12

1212而當(dāng)b0,c時(shí)，g(x)x2在區(qū)間[1,1]上的最大值M12

故Mk對任意的b、c恒成立的k的最大值為解法2：g(x)|f"(x)||(xb)bc|（1）當(dāng)|b|1時(shí)，由（Ⅱ）可知M2；

。

22（2）當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yf"(x)的對稱軸xb位于區(qū)間[1,1]內(nèi)，此時(shí)Mmaxg(1),g(1),g(b)

4Mg(1)g(1)2g(h)|12bc||12bc|2|bc|

2|12bc(12bc)2(bc)||2b2|2，即M2212

下同解法1

43.（201*寧夏海南卷文）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)x3ax9axa.(1)設(shè)a1，求函數(shù)fx的極值；

32中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！(2)若a14，且當(dāng)x1,4a時(shí)，f"(x)12a恒成立，試確定a的取值范圍.

請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。

（21）解析

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得

f(x)3x6x9.

"2令f"(x)0,解得x11,x23.

列表討論f(x),f"(x)的變化情況：x

f(x)

"(,1)

1（-1，3）

30極小值-26

(3,)

+

0極大值6

+

f(x)

所以，f(x)的極大值是f(1)6，極小值是f(3)26.

（Ⅱ）f"(x)3x26ax9a2的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱.若

"14a1,則f(x)在[1,4a]上是增函數(shù)，從而

"f(x)在[1,4a]上的最小值是f(1)36a9a,最大值是f(4a)15a.

"2"2由|f(x)|12a,得12a3x6ax9a12a,于是有

"22f(1)36a9a12a,且f(4a)15a12a.

"2"2由f(1)12a得所以a(,1][4""13a1,由f(4a)12a得0a45],即a(14,].45"45.

113,1][0,2若a>1,則|f(a)|12a12a.故當(dāng)x[1,4a]時(shí)|f(x)|12a不恒成立.

"所以使|f(x)|12a(x[1,4a])恒成立的a的取值范圍是(,].

"144544.（201*天津卷理）（本小題滿分12分）

22x已知函數(shù)f(x)(xax2a3a)e(xR),其中aR

(1)當(dāng)a0時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率；

(2)當(dāng)a23時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！（I）解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ex，f"(x)(x22x)ex，故f"(1)3e.所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為3e.

（II）解：f"(x)x2(a2)x2a24aex.

令f"(x)0，解得x2a，或xa2.由a23知，2aa2.

以下分兩種情況討論。（1）若a＞x

23，則2a＜a2.當(dāng)x變化時(shí)，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：

2a

，2a

+

2a，a2

a2

a2，

+

(2a，a2)內(nèi)是減函數(shù).

2a

0極大值

0極小值

所以f(x)在(，2a)，(a2，)內(nèi)是增函數(shù)，在函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae.

f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

（2）若a＜x

23，則2a＞a2，當(dāng)x變化時(shí)，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：

a2

，a2

+

a2，2a

2a

2a，

+

(a2，2a)內(nèi)是減函數(shù)。

a2

0極大值0極小值

所以f(x)在(，a2)，(2a，)內(nèi)是增函數(shù)，在函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ef(2a)，且f(2a)3ae2a.

.

45.（201*四川卷理）（本小題滿分12分）

x已知a0,且a1函數(shù)f(x)loga(1a)。

（I）求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷f(x)的單調(diào)性；

anf(n)（II）若nN,求lim*naa;

f(x)2)(xm1)，若函數(shù)h(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的（III）當(dāng)ae（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)h(x)(1e取值范圍以及函數(shù)h(x)的極值。

本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。解析（Ⅰ）由題意知1a0

x中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！當(dāng)0a1時(shí)，f(x)的定義域是（0，）；當(dāng)a1時(shí)，f(x)的定義域是（，0）-alna1axxf(x)=glogaeaxxa1

當(dāng)0a1時(shí)，x(0,).因?yàn)閍x10,ax0,故f(x)0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情�。á颍┣骹(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）令a1，設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值，記點(diǎn)M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點(diǎn)；解法一：

（I）依題意，得f"(x)x22axb由f"(1)12ab0得b2a1（Ⅱ）由（I）得f(x)13xax(2a1)x（

32故f"(x)x22ax2a1(x1)(x2a1)令f"*(x)0，則x1或x12a①當(dāng)a1時(shí)，12a1

當(dāng)x變化時(shí)，f"(x)與f(x)的變化情況如下表：

(,12a)

(2a,1)

(1)

x

f"(x)f(x)

+單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

+單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單調(diào)減區(qū)間為(12a,1)

②由a1時(shí)，12a1，此時(shí)，f"(x)0恒成立，且僅在x1處f"(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為R③當(dāng)a1時(shí)，12a1，同理可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,12a)綜上：

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單調(diào)減區(qū)間為(12a,1)；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,12a)（Ⅲ）當(dāng)a1時(shí)，得f(x)13xx3x

323由f"(x)x2x30，得x11,x23

由（Ⅱ）得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(3,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)所以函數(shù)f(x)在x11.x23處取得極值。故M(1,).N(3,9)

3

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！所以直線MN的方程為y83x1

122yxx3x3由得x33x2x30

y8x13令F(x)x33x2x3

易得F(0)30,F(2)30，而F(x)的圖像在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故F(x)在(0,2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0，這表明線段MN與曲線f(x)有異于M,N的公共點(diǎn)解法二：

（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）當(dāng)a1時(shí)，得f(x)13xxx3x，由f"(x)x2x30，得x11,x23

322由（Ⅱ）得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)和(3,)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)，所以函數(shù)f(x)在x11,x23處取得極值，

故M(1,),N(3,9)

35所以直線MN的方程為y83x1

132yxx3x3由得x33x2x30y8x13解得x11,x21.x33

x11x21x33511y9y,y,31233所以線段MN與曲線f(x)有異于M,N的公共點(diǎn)(1,113)

47.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

48.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。（1）．．．．．．16分

49.（201*重慶卷理）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問8分）

2(k0)設(shè)函數(shù)f(x)axbxk在x0處取得極值，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處)的切線垂直于直線

x2y10．

（Ⅰ）求a,b的值；

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情�。á颍┤艉瘮�(shù)g(x)exf(x)，討論g(x)的單調(diào)性．

解（Ⅰ）因f(x)ax2bxk(k0),故f(x)2axb又f(x)在x=0處取得極限值，故f(x)0,從而b0

由曲線y=f(x)在（1，f（1））處的切線與直線x2y10相互垂直可知該切線斜率為2，即f(1)2,有2a=2,從而a=1

e2x（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)xk(k0)

g(x)e(x2xk)(xk)22x2(k0)

令g(x)0,有x22xk0

（1）當(dāng)44k0,即當(dāng)k>1時(shí)，g(x)>0在R上恒成立，

故函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)

（2）當(dāng)44k0,即當(dāng)k=1時(shí)，g(x)K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)

e(x1)(xk)2x220(x0)

（3）44k0,即當(dāng)0中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家讓教育孩子成為一件輕松愉快的事情！32"2g(x)(xa)f(x)xaxxa從而g(x)3x2ax1,曲線yg(x)有斜率為0的切線，故有

g(x)0有實(shí)數(shù)解.即3x2ax10有實(shí)數(shù)解.此時(shí)有4a12≥0解得

"22a,33,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍:a,33,

（Ⅱ）因x1時(shí)函數(shù)yg(x)取得極值,故有g(shù)"(1)0即32a10,解得a2又g"(x)3x24x1(3x1)(x1)令g"(x)0,得x11,x2當(dāng)x(,1)時(shí),g"(x)0,故g(x)在(,1)上為增函數(shù)當(dāng)x(1,)時(shí),g"(x)0,故g(x)在(1,)上為減函數(shù)

331113

當(dāng)x(

13,)時(shí),g(x)0,故g(x)在("13,)上為增函數(shù)

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