數(shù)學(xué)必修5復(fù)習(xí)小結(jié)

遠(yuǎn)東二中導(dǎo)學(xué)稿★高二數(shù)學(xué)必修五★知識(shí)復(fù)習(xí)小結(jié)專稿“解三角形”復(fù)習(xí)與小結(jié)

1、三角函數(shù)知識(shí)儲(chǔ)備：

(1)任意角三角函數(shù)的定義①三角函數(shù)定義②定義域

③三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)(2)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系(3)誘導(dǎo)公式

(4)正、余弦函數(shù)與正切函數(shù)的關(guān)系

(5)兩角和與差的正弦，余弦、正切公式(6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(7)半角公式（8）降冪公式（9）輔助角公式2、正余弦定理及應(yīng)用解斜三角形時(shí)可用的定理公式余弦定理222a=b+c-2bccosA222b=a+c-2accosB222c=b+a-2bacosC正弦定理三角形面積公式適用類型(1)已知三邊(2)已知兩邊及其夾角備注類型（1）（2）有解時(shí)只有一解備注：1、判斷三角形解的情況的方法2、正余弦定理的作用“不等式”小結(jié)復(fù)習(xí)1、不等式解法（1）一元二次不等式解法（圖像法）：（2）絕對(duì)值不等式解法：（3）分式不等式解法：

（4）高次不等式的解法（穿線法）：（5）含參不等式的解法（分類討論）：2、重要不等式：

22

如果a、b∈R，那么a＋b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)）

3、基本不等式：

代數(shù)意義：幾何意義：數(shù)列意義：

4、四個(gè)平均數(shù)大小關(guān)系：5、利用基本不等式求最值：

x、y都是正數(shù)時(shí)

(1)若x+y=s（和為定值），則當(dāng)_______________時(shí)，積__________________.(2)若xy=p（積為定值）,則當(dāng)_______________時(shí)，和__________________.(3)利用基本不等式求最值時(shí)必須滿足三個(gè)條件:一正二定三相等【典型題】導(dǎo)學(xué)稿第31期，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)5、圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：【關(guān)鍵】體會(huì)（1）平行直線系中縱截距與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系；（2）uyb的幾何意義：；xa22（3）w(xa)(yb)的幾何意義：。數(shù)列復(fù)習(xí)與小結(jié)

一、方法總結(jié)

1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想．

2．等差、等比數(shù)列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時(shí)用到換元法．

3．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于1，公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想．

4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)法，累加法，等價(jià)轉(zhuǎn)化等．

二、等差數(shù)列1相關(guān)公式：

（1）定義：an1and(n1,d為常數(shù))

（2）通項(xiàng)公式：①ana1(n1)d【推導(dǎo)方法】②

（2）前n項(xiàng)和公式：

①Snn(a1an)n(n1)d【推導(dǎo)方法】②Snna1222.等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì)

（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an1ana2a1（2）對(duì)于任意的整數(shù)p,q,r,s，如果pqrs，那么apaqaras（3）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1，有2anan1an1（4）等差中項(xiàng)：

（5）等距和性：Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等差數(shù)列，即S3m3(S2mSm)（6）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，數(shù)列{ban}是等差數(shù)列，則{an}是等差數(shù)列（7）已知{bn}是等差數(shù)列，則{anbn}也是等差數(shù)列（8）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等差數(shù)列3.等差數(shù)列的判定方法：

（1）定義法：（2）等差中項(xiàng)法：

（3）通項(xiàng)公式法：（4）前n項(xiàng)和法：三、等比數(shù)列1相關(guān)公式：

（1）定義：

an1q(n1,q0)an（2）通項(xiàng)公式：①ana1qn1【推導(dǎo)方法】

②anamqnmq1na1（3）前n項(xiàng)和公式：Sna1(1qn)q11q2.等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì)（1）對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有

an1a2ana1（2）對(duì)于任意的正整數(shù)p,q,r,s,如果pqrs，則apaqaras（3）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1,有anan1an1（4）等比中項(xiàng)：（5）等距和性：Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，

①當(dāng)q=－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比數(shù)列.②當(dāng)q≠－1或k為奇數(shù)時(shí)，Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比數(shù)列2（6）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，{ban}也是等比數(shù)列（7）已知{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列（8）如果an0，則{logaan}是等差數(shù)列（9）數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列，則{an}是等比數(shù)列（10）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等比數(shù)列3.等比數(shù)列的判定方法：

（1）定義法：（2）等差中項(xiàng)法：

（3）通項(xiàng)公式法：（4）前n項(xiàng)和法：

四、常見數(shù)列求和方法（1）公式法：（2）分組求和法：（3）裂項(xiàng)相消法：①

111

n(n1)nn1②

（4）錯(cuò)位相減法

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必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用來(lái)解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無(wú)交點(diǎn)：當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過(guò)程略

附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．10、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．22、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號(hào)表示：

an1anq（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位上

的值同號(hào)）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，

22則稱G為a與b的等比中項(xiàng)．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1q．

27、通項(xiàng)公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、對(duì)任意的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{an}前n項(xiàng)和Sndddd22AnBnna1n→

222可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若

為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式(a1d2)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.

對(duì)應(yīng)函數(shù)（時(shí)為一次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）對(duì)應(yīng)函數(shù)（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列分析：因?yàn)?/p>

中，，則.

是等差數(shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，

一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線，

所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)

列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。例題：2、等差數(shù)列

中，

，前n項(xiàng)和為

，若

，n為何值時(shí)

最大？

分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，

是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，，

則因?yàn)橛�求最大�?/p>

最大值，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，

例題：3遞增數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)n，

遞增得到：

恒成立，設(shè)

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因?yàn)槭沁f的最大值即

分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對(duì)一切

對(duì)于一切

，所以看成函數(shù)

的取值范圍是：

構(gòu)造二次函數(shù)，，它的定義域是

增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸的左側(cè)

在

也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，

，得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前

n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，

公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證anan1(anan1)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d把①式兩邊同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例題：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)yax22

000bxc有兩相異實(shí)根x1,x2(x1x2)（a0）的圖象一元二次方程ax2有兩相等實(shí)根x1x2b2abxc0a0的根2無(wú)實(shí)根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2對(duì)于a0(或

f(x)g(x)（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

xx11

1的解集。

3.含絕對(duì)值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當(dāng)x2時(shí)，（去絕對(duì)值符號(hào)）原不等式化為：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集為：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函數(shù)圖像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖11292由圖像可知原不等式的解集為：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來(lái)分析：y設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0o對(duì)稱軸x=b2ax

0b0②若兩根都小于0，即0,0，則有2af(0)0y

11

對(duì)稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即mn，

0bnm則有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即mtn，

yf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如：若方程x2(m1)xm2m30有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

55220m(1)4(m1)02解：因?yàn)橛袃蓚�(gè)不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號(hào)來(lái)確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號(hào)方向：

①若是“>”號(hào)，則xyC0所表示的區(qū)域?yàn)橹本�l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．41、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

ab2稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值

s42．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2例題：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化為：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

當(dāng)54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）時(shí)取到“=”號(hào)

也就是說(shuō)當(dāng)x1時(shí)有f(x)max2

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