高數(shù)定理 高等數(shù)學(xué) 大一

第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性

在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。2、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、數(shù)列的極限

定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

定理（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，（-1）n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理（收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。

●如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

4、函數(shù)的極限

函數(shù)極限的定義中00（或A0（或f(x)>0），反之也成立�！窈瘮�(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

●一般的說(shuō)，如果lim（x→∞）f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim（x→x0）f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

5、極限運(yùn)算法則

定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮��；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮��；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮�。�

定理如果F1（x）≥F2（x）,而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b。6、極限存在準(zhǔn)則

●兩個(gè)重要極限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1�！駣A逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。●單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

7、函數(shù)的連續(xù)性

●設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。●不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；2、雖在x=x0有定義但lim（x→x0）f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

●如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)（左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)）。非第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)）。

●定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商（分母不為0）是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)�！穸ɡ砣绻�函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

●定理（最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

●定理（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M。●定理（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)×f(b)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值

●如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，x0是（a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x,f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

●在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)），但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

●定理（函數(shù)取得極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0。

●定理（函數(shù)取得極值的第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：

（1）如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；

（2）如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；

（3）如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。

●定理（函數(shù)取得極值的第二種充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：

（1）當(dāng)f’’(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；●駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。7、函數(shù)的凹凸性及其判定

設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<

[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

●定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在（a,b）內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的；（2）若在（a,b）內(nèi)f’’(x)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章定積分

1、定積分解決的典型問(wèn)題

（1）曲邊梯形的面積（2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程2、函數(shù)可積的充分條件

●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì)

●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx�！裢普搢∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則

m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

●性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。4、關(guān)于廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c（a

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第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮�。挥薪绾瘮�(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮��；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮��；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮�。欢ɡ砣绻鸉1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F"(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f"(ξ)/F"(ξ)成立。

4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f"(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f"’(x)在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)��?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。第四章不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有F"(x)=f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u.

2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。第五章定積分

1、定積分解決的典型問(wèn)題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。

定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點(diǎn)c(a功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時(shí)，即使函數(shù)無(wú)限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x，y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)。

性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極小值；(2)AC-B2注意：在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。

第八章二重積分

1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(diǎn)(x，y)處的密度。

平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M，m分別是f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重積分中標(biāo)量在直角與極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標(biāo)系換為極坐標(biāo)系，只要把被積函數(shù)中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxd

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