高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

8空間解析幾乎與向量代數(shù)

1.給定向量的坐標(biāo)表達(dá)式，如何表示單位向量、方向數(shù)與方向余弦、投影。

2.向量的數(shù)量積、向量積的定義式與坐標(biāo)式，掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。

3.了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程。空間曲線在坐

標(biāo)平面上的投影方程。

4.平面方程和直線方程及其求法。

5.平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、

垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。

6.點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

9多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1.有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的求解方法，偏導(dǎo)要求求到二階。2.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，隱函數(shù)求導(dǎo)公式和方法。

3.空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數(shù)沿著一條直線的方向?qū)��?shù)與梯度。

4.利用充分條件判斷函數(shù)的極值問(wèn)題；利用拉格朗日乘子法（即條件極值）分析實(shí)際問(wèn)題或給定函數(shù)的最值問(wèn)題。

10重積分

1.二重積分直角坐標(biāo)交換積分次序；選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算二重積分。2.選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。

3.利用二重積分計(jì)算曲面的面積；利用三重積分計(jì)算立體體積；4.利用質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式求解問(wèn)題。

11曲面積分與曲線積分

1.兩類曲線積分的計(jì)算與聯(lián)系；2.兩類曲面積分的計(jì)算與聯(lián)系；3.格林公式和高斯公式的應(yīng)用。 12曲面積分與曲線積分

1.常數(shù)項(xiàng)積分的斂散性判別：（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)；（2）交錯(cuò)級(jí)數(shù)；（3）一般級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)的收斂域（1）標(biāo)準(zhǔn)型（2）非標(biāo)準(zhǔn)型

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)3.傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及展開(kāi)式

擴(kuò)展閱讀：高數(shù)下冊(cè)總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納(1)

高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

第八、九章向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)

向量代數(shù)定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)定義向量模有大小、有方向.記作a或AB向量a的模記作a在直角坐標(biāo)系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca－b單位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，則eaa設(shè)a與x,y,z軸的夾角分別為，，，則方向余弦分別為cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21點(diǎn)乘（數(shù)量積）ababcos，為向量a與b的夾角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量積）為向量a與b的夾角cab向量c與a，b都垂直定理與公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab兩向量夾角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式點(diǎn)法式方程形式及特征直線方向向量T{m,n,p}點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方程名稱一般式點(diǎn)向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

xx0yy0zz0mnp高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

xx1三點(diǎn)式y(tǒng)y1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1兩點(diǎn)式線線垂直線線平行線面平行參數(shù)式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行線面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0點(diǎn)面距離M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距離AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夾角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222線線夾角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}線面夾角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“線”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空間(t)曲線：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“線”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空間曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“線“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“線“方程：

zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

第十章總結(jié)

重積分計(jì)算方法（1）利用直角坐標(biāo)系X型Y型積分類型二重積分典型例題f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用極坐標(biāo)系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2y2),平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積為實(shí)數(shù))P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，（關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，有類似結(jié)論）0I2f(x,y)dxdyD1計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)f(x,y)對(duì)于x是奇函數(shù)，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)對(duì)于x是偶函數(shù)，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便1．畫(huà)出積分區(qū)域2．選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3．確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4．確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5．計(jì)算要簡(jiǎn)便注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性

高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

三重積分(1)利用直角坐標(biāo)投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐標(biāo)yrsinzz相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍:1積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如旋轉(zhuǎn)體○If(x,y,z)dvP161例3空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積22222被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐標(biāo)ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd適用范圍:1積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如，球體，錐體.○P16510-(1)2222被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如，f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性

高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

第十一章總結(jié)

曲線積分與曲面積分積分類型參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）第一類曲線積分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds計(jì)算方法典型例題(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形構(gòu)件的質(zhì)量（2）L:y(t)質(zhì)量=線密度xr()cos弧長(zhǎng)（3）rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190－3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二類曲線積分（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）x(t)L:(t單調(diào)地從到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：①L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）②P，Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：LPdxQdy(DQP)dxdyxy滿足條件直接應(yīng)用IPdxQdy應(yīng)用：有瑕點(diǎn)，挖洞L不是封閉曲線，添加輔助線變力沿曲線所做的功P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路徑無(wú)關(guān)定理（特殊路徑法）等價(jià)條件：①Q(mào)P②xy③PdxQdy0LLPdxQdy與路徑無(wú)關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)P211-例5、例6、例7④PdxQdy具有原函數(shù)u(x,y)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（4）兩類曲線積分的聯(lián)系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空間第二類曲線積分（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）L條件：①L封閉，分段光滑，有向②P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)PdxQdyRdzL變力沿曲線所做結(jié)論：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1

高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)

應(yīng)用：滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲線，添加輔助線第一類曲面積分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量Dxy質(zhì)量=面密度類似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公式面積（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，為的法向量與x軸的夾角前側(cè)取“+”，cos0；后側(cè)取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二類曲面積分○Dyz：yy(x,z)，為的法向量與y軸的夾角右側(cè)取“+”，cos0；左側(cè)取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流體流向曲面一側(cè)的流量：xx(y,z)，為的法向量與x軸的夾角上側(cè)取“+”，cos0；下側(cè)取“”，cos0（2）高斯公式右手法則取定的側(cè)條件：①封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)②P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2應(yīng)用：滿足條件直接應(yīng)用不是封閉曲面，添加輔助面（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3轉(zhuǎn)換投影法：dydz(

所有類型的積分：

z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定義：四步法分割、代替、求和、取極限；○

2性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；○

3對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性�！�

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第十二章總結(jié)

1若級(jí)數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂○

2兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂○

用收斂定義，limsn存在

n注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.

3去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng)不改變其收斂性○

4若級(jí)數(shù)收斂則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成○

一

般項(xiàng)級(jí)

數(shù)

的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

推論如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散注：收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后未必收斂.

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

5（必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂則limu0○nn0常

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

交錯(cuò)級(jí)數(shù)

萊布尼茨判別法

若unun1且limun0，則(1)n1unnn1收斂

比較判別法

un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且unvn.若vn收斂，則un也收斂；若un發(fā)散，則vn也發(fā)散.

1若un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且limunl，則○

n正

項(xiàng)級(jí)數(shù)

比較判別法的極限形式

vn2若l0,v收0l,un與vn同斂或同散;○n3如果l斂,un也收斂；○

比值判別法

根值判別法

，vn發(fā)散，un也發(fā)散。

uun是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，limn1,limnun,則1時(shí)收

nnun斂；1()時(shí)發(fā)散；1時(shí)可能收斂也可能發(fā)散.

收斂性

an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺項(xiàng)級(jí)數(shù)用比值審斂法求收斂半徑

1在收斂域I上連續(xù);○2在收斂域(R,R)內(nèi)可導(dǎo)，3且可逐項(xiàng)求導(dǎo);○s(x)的性質(zhì)○

無(wú)窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)

和函數(shù)和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積分，且可逐項(xiàng)積分.(R不變,收斂域可能變化).

展成冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi):泰勒級(jí)數(shù)間接展開(kāi):六個(gè)常用展開(kāi)式

11nxx(1x1)exn(x)1xn1n1n!T2

T2l1a0f(x)(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dx

傅

立葉級(jí)數(shù)

an1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收斂定理

x是連續(xù)點(diǎn),收斂于f(x);x是間斷點(diǎn),收斂于1[f(x)f(x)]

2周期延拓

f(x)為奇函數(shù)，正弦級(jí)數(shù)，奇延拓；f(x)為偶函數(shù)，余弦級(jí)數(shù)、偶延拓.

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