高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應用

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一、基本公式：

1、同角三角函數(shù)的基本關系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan222222sincos1sectan1csccot1

2、誘導公式：把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號看象限”

2

4、三角函數(shù)的公式：（一）基本關系

公式組一公式組二公式組三

sinxsin(2kx)sinxsinx()sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)coxscosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx角與角之間的互換

公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2tan2sin()sincoscossinsin()sincoscossinsin

2tan1ta2n1cos2

2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()公式組三公式組四公式組五2tansin21tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos2cossinsinsin2221sinsincoscos2coscos2coscossincos221cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin

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2tantan2

coscos2sinsinsin2sin22sincos221tan221tan()cot21sin()cos2sin15cos75624

sin75cos1562tan15cot7523.tan75cot15234

3、圖像的平移對函數(shù)y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．

(1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的．A＞1,伸長；A＜1,縮短．(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的．ω＞1，縮短；ω＜1,伸長．

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(3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ的變化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

兩角和與差的三角函數(shù)關系

sin()=sincoscossin

cos()=coscossinsin

和差化積公式tantantan()1tantan積化和差公式半角公式sin1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2sincos=21cos2，cos21cos2tan2sin1cos1cos=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin2222222cos2)2

22sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22

sincos-cos=-2sin2212

tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot21+cos=2cos1-cos=2sin1±sin=(sin22sin+sin=2sincossin=2sin降冪公式+cos2cos21cos221cos22cos2sin2sin2+cos2=11sin22sincos=222cos2)2三倍角公式：sin33sin4sin；cos34cos3cos；

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擴展閱讀：高考三角函數(shù)公式全面總結(jié)與典型題目應用

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高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)

一、基本公式：

1、同角三角函數(shù)的基本關系式：sintan

coscoscotsin

cos1cot1cscsin1sectan

222222sincos1sectan1csccot12、誘導公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號看象限”2

4、三角函數(shù)的公式：

（一）基本關系

公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos2k(x)coxscosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan2k(x)tanxsinxco2tk(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組一sinx()sinxcos(x)coxs

tan(x)tanxcot(x)coxt

公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)coxs

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)coxt

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二cos()coscossinsinsin22sincos

cos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2

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sin()sincoscossintan2sin()sincoscossinsin2tan1tan2

21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan21cos1cossin1tantantan()

公式組三公式組四公式組五2tansinsin15cos7562421tan21tan2cos1tan22221sinsin2

1cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos2sincos1cos()sin21sin()cos22tantan1tan

22sinsin2sinsinsin2cos2cos1tan()cot21cos()sin22tan(1)cot22sin22coscos2cos2cos21sin()cos2coscos2sin6242sin2sin75cos15,

tan15cot7523,.tan75cot1523

高中數(shù)學蘇教版必修4

注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，

13）；（8，15，17）；

四、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)

1．周期函數(shù)定義

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定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．

請你判斷下列函數(shù)的周期

ysinxycosxy|cosx|ycos|x|y|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|ysin|x|

例求函數(shù)f(x)=3sin(不大于1

注意理解函數(shù)周期這個概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常

函數(shù)f(x)＝c（c為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實數(shù)，但沒有最小正

周期．

kx)(k0)的周期。并求最小的正整數(shù)k,使他的周期53xR，那么函數(shù)f(x)的周期結(jié)論：如函數(shù)f(xk)f(xk)對于任意的xR，那么函數(shù)f(x)的對T=2k;如函數(shù)f(xk)f(kx)對于任意的稱軸是x2．圖像

(xk)(kx)k

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3、圖像的平移

對函數(shù)y＝Asin(ωx＋)＋k(A＞0,0,≠0,k≠0),其圖象的基本變換有：．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．(1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的．A＞1,伸長；A＜1,縮短．(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的．ω＞1，縮短；ω＜1,伸長．(3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ的變化引起的．＞0,左移；＜0，右移．(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移

四、三角函數(shù)公式：

倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan22tan1tan

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兩角和與差的三角函數(shù)關系和差化積公式積化和差公式sincoscoscossinsin()=sincossinsincos()=costan()tantan1tantan半角公式1[sin(+)+sin(-)]21cossin=[sin(+)-sin(-)]21coscos=[cos(+)+cos(-)]21sinsin=-[cos(+)-cos(-)]2=sin21cos2，cos21cos2tan21cos1cossin=sin1cos1cos升冪公式1+cos=2cos2222sinsin-sin=2cos22coscos+cos=2cos22sincos-cos=-2sin2212tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot221+cos=2cossin+sin=2sincos1-cos=2sin1±sin=(sin1=sin22222cos2)2+cos2cossin=2sin降冪公式21cos221cos2cos22sin22sin2+cos2=1121-cos=2sinsin33sin三倍角公式：224sin；cos33sinsincos34cos=3cos2；cos1±sin=(sin五、三角恒等變換：22)2三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角

與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的

差異，使問題獲解，對角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；3是

3的

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二倍；

3是

6的二倍；

22是

o4的二倍。

30o②1545306045；問：sin；

122oooocos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎，通�；�切、割為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例

如常數(shù)“1”的代換變形有：

1sincossectantancotsin90tan45

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處

理的方法。常用降冪公式有：；。降冪并非絕對，2222oos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有時需要升冪，如對無理式1co有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。如：

1tan1tan___________；_______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；asinbcos=；

；（其中tan）

1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

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基本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理

化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；tancot；coscos24cos；

99935coscoscos；推廣：

777246coscoscos；推廣：

777

1.3三角函數(shù)的誘導公式

班級姓名

學習目標：

1、利用單位圓探究得到誘導公式五，六，并且概括得到誘導公式的特點。2、理解求任意角三角函數(shù)值所體現(xiàn)出來的化歸思想。3、能初步運用誘導公式進行求值與化簡。教學重點：

誘導公式的探究，運用誘導公式進行求值與化簡，提高對單位圓與三角函數(shù)關系的認識。教學難點：

誘導公式的靈活應用教學過程：

一、復習：1．復習誘導公式一、二、三、四；

2．對“函數(shù)名不變，符號看象限”的理解。

二、新課：

1、如圖,設任意角α的終邊與單位圓的交點P1的坐標為(x,y),由于角終邊關于直線y=x對稱,角

-α的終邊與角α的2-α的終邊與單位圓的交點P2與點P1關于直線y=x對稱,因此點2P2的坐標是(y,x),于是,我們有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x.

22從而得到誘導公式五:

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-α)=sinα,2sin(-α)=cosα.2cos(

2、提出問題

能否用已有公式得出

3、誘導公式六

+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關系式?2+α)=cosα,2cos(+α)=-sinα.2Sin(4、用語言概括一下公式五、六：

±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原2函數(shù)值的符號.簡記為“:函數(shù)名改變,符號看象限.”

作用：利用公式五或公式六,可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.5、提出問題

學了六組誘導公式后,能否進一步用語言歸納概括誘導公式的特點？（奇變偶不變,符號看象限.）6、示例應用

例1將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

（1）sin

331(2)cos10021′(3)sin(4)tan32432′5

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例2、證明(1)sin(

33-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.22變式練習求cos2(

)cos2()的值。4411sin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22例3化簡.

9cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)2

cos()2sin(2)cos(2)變式練習化簡1、（1）

5sin()2

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tan(3600)（2）cos()

sin()2

2、已知sinα是方程5x-7x-6=0的根,且α為第三象限角,

2

sin(a求

33)sin(a)tan2(2a)tan(a)22的值.

cos(a)cos(a)22

三、小結(jié)

應用誘導公式化簡三角函數(shù)的一般步驟：

1用“”公式化為正角的三角函數(shù)；

2用“2k+”公式化為[0，2]角的三角函數(shù)；3用“±”或“四、作業(yè)：習題1.3B組第1題

±α”公式化為銳角的三角函數(shù)2五、探究

1、習題1.3B組第2題

12、已知sin，sin()1,求sin(2)

3

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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一．【課標要求】

1．能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；

2．借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（－π/2，π/2）上的性質(zhì)

（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點等）；

3．結(jié)合具體實例，了解y=Asin（wx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin

（wx+φ）的圖像，觀察參數(shù)A，w，φ對函數(shù)圖像變化的影響.

二．【命題走向】

近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學和應用技術學科的基礎，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復習的重點。在復習時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

預測201*年高考對本講內(nèi)容的考察為：

1．題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）；

2．熱點問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象及其變換；

三．【要點精講】

1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724xy=cosx-4-72-5-321-1o2322523724xyyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

ysinx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，

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遞減區(qū)間是2k2，2k3(kZ)；2ycosx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，

遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)，

ytanx的遞增區(qū)間是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函數(shù)yAsin(x)B最大值是AB，最小值是BA，周期是T初相是；其圖象的對稱軸是直線xk22，頻率是f，相位是x，2(kZ)，凡是該圖象與直線yB的

交點都是該圖象的對稱中心.

4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的

橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象.

途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。

先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼南蛴?＜0＝平移

1倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或

||5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式：

個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。

給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（－0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。．．

6．對稱軸與對稱中心：

，ysinx的對稱軸為xk2，對稱中心為(k,0)kZ；

ycosx的對稱軸為xk，對稱中心為(k2,0)；

對于yAsin(x)和yAcos(x)來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最

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值點聯(lián)系。

7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意A、的正負.利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；

8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

9．五點法作y=Asin（ωx+）的簡圖：

五點取法是設x=ωx+，由x取0、再描點作圖。

π3π、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，22四．【典例解析】

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1．（201*浙江理）已知a是實數(shù)，則函數(shù)f(x)1asinax的圖象不可能是()．．．

解析對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為T求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2．答案：D

2,a1,T2，而D不符合要a例2．（201*遼寧理，8）已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示，f()22，則3f(0)=（）

A.2211B.C.-D.3322答案C

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

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1π例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象.

331π解析：y=sin（2x+）

331π2倍橫坐標擴大為原來的ysin（x）縱坐標不變33π圖象向右平移個單位13ysinx縱坐標不變33倍縱坐標擴大到原來的ysinx橫坐標不變另法答案：

1ππ1（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；

336311（2）再將y=sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得y=sinx的

33圖象；

1（3）再將y=sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍（橫坐標不變），即可得到

3y=sinx的圖象。

例4．(201*山東卷理)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移所得圖象的函數(shù)解析式是().

個單位,再向上平移1個單位,4A.ycos2xB.y2cos2xC.y1sin(2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移

4)D.y2sin2x個單位,得到函數(shù)ysin2(x)即

44ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為

y1cos2x2cos2x,故選B.

答案:B

【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.

7.(201*山東卷文)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移象的函數(shù)解析式是().

個單位,再向上平移1個單位,所得圖422A.y2cosxB.y2sinxC.y1sin(2x4)D.ycos2x解析將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移

個單位,得到函數(shù)ysin2(x)即

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ysin(2x2)cos2x的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為

y1cos2x2cos2x,故選A.

答案:A

【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.

題型3：三角函數(shù)圖象的應用

例5．已知電流I與時間t的關系式為IAsin(t)。（１）右圖是IAsin(t)（ω＞0，||2）

在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求IAsin(t)的解析式；

I300（２）如果t在任意一段

1秒的時間內(nèi)，電流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正

-300整數(shù)值是多少？

解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．

（１）由圖可知A＝300。設t1＝－

11，t2＝，900180則周期T＝2（t2－t1）＝2（∴ω＝

111＋）＝。180900752＝150π。T11又當t＝時，I＝0，即sin（150π＋）＝0，

180180而||2，∴＝

。6故所求的解析式為I300sin(150t（２）依題意，周期T≤

6)。

121，即≤，（ω>0）150150∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故最小正整數(shù)ω＝943。

點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑.

圖

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例6．（1）（201*遼寧卷理）已知函數(shù)f(x)=Acos(x)的圖象如圖所示，f()22，3則f(0)=()A.2211B.C.－D.3322

2π解析由圖象可得最小正周期為3于是f(0)＝f(

2π2ππ7π

),注意到與關于對稱33212

2ππ2所以f()＝－f()＝

323答案B

（2）（201*寧夏海南卷理）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0,-

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（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

ππ，2kπ+），k∈Z}。22點評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－

6cos4x5cos2x1例8．已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，

cos2x并求其值域.

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+

2，解得x≠

k，k∈Z，所以f（x）的定義域為{x|x24∈R且x≠

k，k∈Z}，24因為f（x）的定義域關于原點對稱，

6cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f（－x）==f（x）。cos(2x)cos2x所以f（x）是偶函數(shù)。又當x≠

k（k∈Z）時，246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1。f（x）=

cos2xcos2x11所以f（x）的值域為{y|－1≤y

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3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)減區(qū)間；88π2xπ3π由2kπ+≤－≤2kπ+。

23423kπ－

9π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)增區(qū)間。

883π9π∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，

883kπ+

遞增區(qū)間為［3kπ+（2）y=－|sin（x+kπ+

9π21π，3kπ+］（k∈Z）。

88ππ3ππ）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，4444π］。4-5434-4-yo4345474x

sinx

例10．（201*京皖春文，9）函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間是（）A．［2kπ－

，2kπ＋22］（k∈Z）

B．［2kπ＋

3，2kπ＋22］（k∈Z）

C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）

D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

xsinx

解析：A；函數(shù)y=2為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）。

分析：判斷奇偶性首先應看定義域是否關于原點對稱，然后再看f（x）與f（－x）的關系。解析：定義域為R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，即f（－x）=－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)。

點評：定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件。例12．（201*上海春）關于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：①對任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在，使f（x）是奇函數(shù)；

④對任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。

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其中一個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結(jié)論不成立.答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

2+kπ（k∈Z）；或者④，

2+kπ（k∈Z）

解析：當=2kπ，k∈Z時，f（x）=sinx是奇函數(shù)。當=2（k+1）π，k∈Z時f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)。當=2kπ+

2，k∈Z時，f（x）=cosx，或當=2kπ－

2，k∈Z時，

f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分.

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13．求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值。分析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.

解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）

323522

=1－3sinxcosx=1－sin2x=cos4x+。

488∴T=

π。2kπ（k∈Z）時，ymax=1。2當cos4x=1，即x=

例14．設f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f(（1）求、a、b的值；

12)4，

（2）若、、為方程f(x)0的兩根，、、終邊不共線，求tan()的值。

解析：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，

又f(x)的最大值。

f(12)4，4a2b2①，且4asin22bcos②，1212由①、②解出a=2,b=3.

(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(23)，f()f()0，

3)4sin(23)，

232k23，或232k(23)，

即k(、共線，故舍去)，或k6，

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tan()tan(k6)3(kZ)。3點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的

周期性。

題型8：三角函數(shù)的最值

例15．（201*安徽卷文）設函數(shù)則導數(shù)A.

的取值范圍是B.

2，其中，

x1C.D.

解析f(1)sinx3cosxsin3cos2sin()

325，選D0,sin(),1f(1)2,21232

例16．（201*江西卷理）若函數(shù)f(x)(13tanx)cosx，0x值為

A．1B．2C．31D．32答案：B

解析因為f(x)(13tanx)cosx=cosx3sinx=2cos(x當x

2，則f(x)的最大

3)3

五．【思維總結(jié)】

是，函數(shù)取得最大值為2.故選B

1．數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.

2．作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域.

3．對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。

4．求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。5．求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。

6．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。

7．判斷y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin（ωx+）的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合.而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調(diào)區(qū)間時，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎�的，再設法求之.

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4.6正弦型三角函數(shù)練習

姓名：_________________班級：________________

1.把函數(shù)y2sin(2x的

4)的圖象向右平移

,再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來81,則所得圖象的解析式是()23)B.y2sin(4x)C.y2sin4xD.y2sinxA.y2sin(4x88

2.已知函數(shù)yAsin(在一個周期內(nèi),當xx)(A0,0)當x12時,取得最大值2,

7時,取得最小值2,那么()121A.ysin(x)B.y2sin(2x)C.y2sin(2x)D.

2336xy2sin()

26

3.將函數(shù)yf(x)cosx的圖象上平移1個單位,得到的圖象再向右平移到y(tǒng)2sin2x的圖象,那么函數(shù)f(x)可以是()A.

個單位,最后得4cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx

3個單位,或向左平移個單

884.把函數(shù)ysin(x)(其中為銳角)的圖象向右平移

位,都可使對應的新函數(shù)成為奇函數(shù),則原函數(shù)的一條對稱軸方程是()A.x

5.函數(shù)y2sin的周期是______,函數(shù)y2|six的周期是______,函數(shù)x3n32

B.x

4

C.x8D.x581y2|sixn3的|2周期是______,函數(shù)y2|sin3x2|的周期是______.

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6.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),它的最小正周期為T,則f(

7.函數(shù)f(x)sinxsin(x

8、若函數(shù)f(x)asin(x

9、如圖，一個水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間。（1）將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；（2）點P第一次到達最高點大約需要多少時間？

T)的值為______.24)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________________.

對實數(shù)a之值為______.)3sin(x)的圖象關于y軸對稱，

44x)((0,10.已知函數(shù)f(x)3sin(2函數(shù)f(x)的解析式.

11.已知函數(shù)f(x)4sinxsin(22)),其圖象向左平移

后關于y軸對稱.求出6x)cos2x.

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(1)求函數(shù)yf(32x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)acos2x對于xR恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

第28課時：第四章三角函數(shù)同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式一．課題：同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式

二．教學目標：掌握同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式；并能運用這些公式

進行求值、化簡與證明．三．教學重點：公式的恰當選用及利用公式時符號的正確選�。�四．教學過程：（一）主要知識：

1．同角三角函數(shù)的基本關系式：（1）倒數(shù)關系：tancot1；

sincos,cot（2）商數(shù)關系：tan；cossin（3）平方關系：sin2cos21．

2．誘導公式，奇變偶不變，符號看象限．

（二）主要方法：

1．利用同角三角函數(shù)的基本關系式時要細心觀察題目的特征，注意公式的合理選用，特別要注意開方時的符號選取，切割化弦是常用的方法；

2．學會利用方程的思想解三角題，對于sincos,sincos,sincos三個式子中，已知其中一個式子的值，可求其余兩個式子的值．（三）例題分析：

sintan例1．化簡tan(cossin)

cotcsc分析：切割化弦是解本題的出發(fā)點．

sinsinsin(cossin)cossin．解：原式cos1cossinsin例2．化簡（1）sin()cos()；

44311)的值．（2）已知2,cos(9)，求cot(52解：（1）原式sin()cos[()]sin()sin()0．

4244433（2）cos()cos(9)，∴cos，

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4sin4，tan，5cos31134∴cot()cot()tan．

223cossin例3．（1）若tan2，求值①；②2sin2sincoscos2．

cossin∵2，∴sin1sin6xcos6x（2）求值．

1sin4xcos4xsincos12322．解：（1）①原式sin121cos11②∵cos2，21tan31∴原式cos2(2tan2tan1)21．3（2）∵sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)

(sin2xcos2x)23sin2xcos2x13sin2xcos2x．

又∵sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x12sin2xcos2x．

1sin6xcos6x3．∴原式441sinxcosx2例4．已知sin,cos是方程4x24mx2m10的兩個根，

32，求角2．

sincosm2m1解：∵sincos，代入(sincos)212sincos，

4216(m2m1)0得m32m1132，∴sincos0，，又242313312，,cos，又∵，∴sin2222sincosm

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5．6（四）鞏固練習：

∴1．若f(cosx)cos2x，f(sin15)（D）

(A)1133(B)(C)(D)2222132．已知sincos(0)，則tan．

54五．課后作業(yè)：

一：三角函數(shù)線：

yyyMPr1xxcosxOM有向線段MP,OM,AT,BS分別稱作

r1yMPATtanAT角的正弦線,余弦線,正切線,余切線

xOMOAxOMBSBScotS2S1ByMPOBP11．sinP2oAT2T1π），試證明：sinα＜α＜tanα.2證明：如下圖，在平面直角坐標系中作單位圓，設角α以x軸正半軸為始邊，終邊與單位圓交于P點.例1：設α∈（0，

yPOMATx∵S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，111∴|MP|＜α＜|AT|.∴sinα＜α＜tanα.222例2：求函數(shù)ylog211的定義域。sinx(2k,2k6][2k5,2k)

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二：點坐標和三角比的關系

1.角α的終邊過點P（－8m，－6cos60°）

4且cosα=－，則m的值是___________。

58m4解：P（－8m，－3），cosα==－.

564m2911或m=－（舍去）.22二：角的象限判定？

∴m=

例1：已知是第三象限角且cos20，問

是第幾象限角？2(kZ)

解：∵(2k1)(2k1)∴k則

222k3(kZ)4是第二或第四象限角2又∵cos0則是第二或第三象限角

22∴必為第二象限角2(可用圖分析判斷例2：.已知sin

34，cos=－，那么α的終邊在

5252A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

247解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，

22252225∴α終邊在第四象限.

(需要算兩個三角比來確定象限)

三：如何確定角的象限。（象限角不包括坐標軸）

（1）若sin0，

則角的終邊可能位于第三、第四象限，也可能位于y軸的非正半軸（2）若tan0，

則角的終邊可能位于第一或第三象限

四：三角比值范圍：1sin1;1cos1；

=

2，3的范圍)A2B2AsinBcosA2B2

42mm3,cos,例1．已知m5m5是第四象限角，sin2

求m的值。

解：∵sin+cos=1∴(2

42m2m32)()1m5m5化簡，整理得：

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m(m8)0

輔助角公式

m10,(與是第四象限角不合）m28

例2．若cosxcosy1，則cos(xy)。1

asinbcosa2b2sin(arctgba)acosbsinabcos(arctg)ba22

例1．已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R),且f()=2,

4f(x)的最大值是10，求a,b的值。

例2．使方程2sinx5cosx(C)

A．(,0)(0,)B．R

1有解的實數(shù)m的取值范圍是m111,]333五：sinAcos與tanA的互化應用（弦化切割）例1：已知sin2cos，

sin4cos及sin22sincos的值。求

5sin2cossin4costan421解：sin2costan25sin2cos5tan2126C．(,][,)D．[13sin22sincostan22tan426sin2sincos222415sincostan12

強調(diào)（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式2“化1法”

2sincos5，求3cos2+4sin2的值。

sin3cos2sincos5∴cos0(否則2=5)解：∵

sin3cos2tan15解之得：tan=2∴

tan33(1tan2)42tan3(122)4227∴原式222251tan1tan1212例2：已知

例3：已知sin(+)=,sin()=求

2325tantan的值

解：∵sin(+)=∴sincos+cossin=①

223322sin()=∴sincoscossin=②

558tansincos15=

2tancossin4

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①+②：sincos=8

15①②：cossin=2

15sincos轉(zhuǎn)化應用。六：sincos與sincos、3，求tancot及sincos的值。313解：將sincos兩邊平方，得：sincos

33125；tancot3(sincos)212sincos1

sincos33例：已知sincossincos153

七：關于開方的化簡例1：1sin440

22解：原式1sin(36080)1sin802cos280cos80

例2：已知是第三象限角，化簡解：原式1sin1sin

1sin1sin(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)2(1sin)21sin1sin|cos||cos|1sin21sin2是第三象限角，cos01sin1sin原式2tan（注意象限、符號）

coscos八：“平方的化簡及轉(zhuǎn)化應用”例1、已知

asecctand,bsecdtanc,求證：a2b2c2d2

asecctand(1)證：由題設：

bsecdtanc(2)22(1)2(2)2：(a2b2)sec(c2d2)tanc2d2

(a2b2)sec2(c2d2)sec2

a2b2c2d2xsincos(1)例2、消去式子中的：

ytancot(2)

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(1)：x212sincossincosx2：由12(3)

由(2)：ysincoscossin1sincossincos1y(4)

將(3)代入(4)：y2x21（平方消去法）

例3、若sinxsiny22，則cosxcosy的取值范圍為_______________。令

cosxcosytt212(sinxsiny)2(cosxcosy)222cos(xy)4t2714142t[2,2]

九：倍角公式與誘導公式的綜合應用例1．已知cos(4x)3575，且4x4，求sin2x2sin2x1tanx的值．

解：由cos(4x)35，得sin2xcos[2(4x)]

[2cos2(4x)1]725,x(57574,4)，2x(2,2)

由sin2x724sin2x2cos2x12825，得cos2x25．∴原式．11cos2x75sin2x例2.已知sin(x334)5,，4x4,則cos2x的值是.2425；

九：函數(shù)應用

例1：若關于x的方程2cos2

(+x)sinx+a=0有實根，求實數(shù)a的取值范圍。

解：原方程變形為：2cos2xsinx+a=0即22sin2xsinx+a=0

∴a2sin2xsinx22(sinx124)178∵1≤sinx≤1

∴當sinx1時，a174min8；當sinx1時，amax1∴a的取值范圍是[178,1]，

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例2：在ABC中，已知ABC，acosB，bcosA，csinC．（1）求ABC的外接圓半徑R和角C的值；（2）求abc的取值范圍．（1）由正弦定理，

cosBcosAsinC12R1，∴R，sin2Asin2B．sinAsinBsinC2∵ABC，∴2A2B，即AB2．∴C2．

4（2）∵abcsinAcosA12sinA1，A0,，∴abc2,21．

4

例3：求函數(shù)yasinxacosxaR的最值。

ya2asinxcosxsinxcosx

t21設sinxcosxt，于是yata2，t2,2，aR，

22a21當0a2，ta即sinxcosxa時ymin，t2，即

22sixncoxs2時ymaxa2a1；

22當a2時，t2，即sinxcosx2時ymina2a1；t2，即

22sinxcosx2時ymaxa2a1。

2

十：常用形式轉(zhuǎn)換：

1tan（1）tan(a)；

1tan41tantan(a)1tan4（2）tantantan(a)(1tantan)

（3）

1sin1sin=

sin|cos|（4）1sin|sin（5）tancot2cos2|

12

sincossin2sin2xcos2x2cos2x（6）tgxctgx

sinxcosxsin2x

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sin)1cossin222cot222（7）21cossin2sin(sincos)2sin22sincos2222221sin40cos40cos80（8）cos20cos40cos80=sin20cos20cos40cos802sin20sin201*sin160sin80cos801848sin20sin202cos22sincos2cos(cos

三角恒等式的角的變換名稱的變換：

角的變換：不同角化為相同角；已知角轉(zhuǎn)化為結(jié)論所需角。名稱變換：弦化切割；切割化弦。

例1.已知：tg224tg2，求證：tgtg23sin。

53cos6tg2∵tg24tg,∴tg23tg1tg23sin22,又，故22233tg53cos14tg14tg1tg2tg22252221tg2tg23tg2命題得證。例2.已知tg例3.設

2,tg3,求cos的值

11,(1cos2)(1cos2)，則tgtg的值為2312cos2()cos2()_________。

由

cos2()cos2()4coscossinsin1；3；

(1cos2)(1cos2)4cos2cos2兩式相除得tgtg例

4.若

3.2433，且cos(),sin()2,，則

5522cos2=________。

=_______________。

34,cos()，∴cos2cos[()()]1，55332,，∴2又，結(jié)合cos21，故2，。22222由已知，sin()

先化簡在求值

cos3xcosx例1.已知4sinx－6sinx－cosx＋3cosx＝0，x∈(0,),求的值。

1ctgx22

2

解：∵4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，∴(2sinx＋cosx)(2sinx－cosx)－3(2sinx－cosx)＝0,

(2sinx－cosx)(2sinx＋cosx－3)＝0,∵2sinx＋cosx－3≠0,

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2525cos3xcosx∴2sinx＝cosx,ctgx＝2,cosx＝,∴＝.

5251ctgx三角形形狀判定

例1.已知sinAcosB，則△ABC是（）

（A）直角三角形或鈍角三角形；（B）等腰三角形；

（C）等邊三角形；（D）等腰或直角三角形例2．在ABC中，根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀：

(1)已知acosBbcosA，則ABC為______________________.

(2)已知cosA:cosBb:a，則ABC為________________________________.（3）已知

a2b2(1)等腰三角形(2)等腰三角形或直角三角形（3）等腰或直角三角形。

tgA，則ABC是______________。.tgB大邊對大角與sinA0的兩解性

例1．(1)在ABC中,已知a80,b100,A30，這樣的三角形可能有________個.2

(2)在ABC中,已知a100,b80,A30，這樣的三角形可能有________個.1

(3)在ABC中,已知a40,b100,A30，這樣的三角形可能有________個.0

BB105，tgctg．

22313AB求：（1）cosAB的值；（2）cos的值．

2例2．在ABC中，cosA512BB103，得sinA，由tgctg，得sinB，13132235312456sinBsinAbaBAcosBcosAB而．

513565（1）由cosAB、C的對邊分別是a、b、c，且sinB例3．ABC中，角A、a:b:c________________．2:1:3或1:1:3

銳角三角形的充要條件。

31，sinC，則

22例1．已知銳角三角形ABC中，sin(AB),sin(AB).

（1）求tan(AB),（2）求證：tanA2tanB；（3）設AB=3，求AB邊上的高.

35153AB，sin(AB),2531（2）證明：sin(AB),sin(AB),

55（1）解：3tan(AB),

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3sinAcosBcosAsinB,sinAcosB51sinAcosBcosAsinB.cosAsinB5所以tanA2tanB.

（3）解：tan(AB)理得

2tan2B4tanB10.解得tanB2,5tanA2.1tanB53tanAtanB3,即，將tanA2tanB代入上式并整41tanAtanB42626，舍去負值得tanB，22tanA2tanB26.設AB邊上的高為CD.

則AB=AD+DB=

CDCD3CD.tanAtanB26由AB=3，得CD=26.所以AB邊上的高等于26.

銳角三角形

例1．已知k1、k2、k3為鈍角三角形的三條邊，且此三角形的最大角不超過120，

則實數(shù)k的取值范圍是_______________．[,2)

邊角互化

1、在△ABC中，求證：sin212Asin2Bsin2C2cosAsinBsinC

1．已知函數(shù)f(x)loga(aax)，(a0且a1)，（1）

求f(x)的定義域和值域；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）解方程

f(x22)f1(x)。

（2）（1）a1時，DA(,1)；0a1時，DA(1,)。

（2）a1時，f(x)在(,1)上遞減；0a1時，f(x)在(1,)上遞減。（3）f1(x)loga(aax)，f(x22)f1(x)loga(aax22)loga(aax)x2x20。

a1時，x1（x2舍去）；0a1時，x2（x1舍去）。

2．已知函數(shù)f(x)log2(x1)，并且g(x)值。

解：∵g(x)1f(3x)，求函數(shù)p(x)g(x)f(x)的最大211f(3x)，∴g(x)log2(3x1)，

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213113x112139p(x)log2(3x1)log2(x1)log2log2log22，22222x12x148(x1)(x1)413∴當x1，即x時，p(x)maxlog23。

3323．已知函數(shù)f(x)loga(x21x),(a1)

1（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的反函數(shù)f圍．

（3）求使得f(x)2的x的取值范(x)；

解：（1）由x21x0，得x1，∴D(,1]．（2）設yloga(x1x)，得f21axax(x)(x0)．

2（3）f(x)2，即loga(x21x)logaa2,∵a1，∴x21xa2，

xa2xa201a41a41a42222由x1(ax)，得x．∵a1，∴x(,1]．2222a2a2ax1x1別解：

f(x)2等價于當f1(x)中的自變量x2時，求f1(x)的范圍。易知f1(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，∴f

4224．設s1，t1，mR，xlogstlogts，ylog4stlogtsm(logstlogts)。（1）將y表示成x的函數(shù)yf(x)，并求出定義域；

1(2)f1(x)f1a2a21a4f1(x)1，即f(x)2中的x((0),1]。22a2（2）若關于x的方程f(x)0有唯一的實數(shù)根，求m的取值范圍。

224422解：（1）∵xlogstlogts，∴l(xiāng)og2stlogtsx2，logstlogts(x2)2，

∴y(x22)22m(x22)x4(m4)x2m2，x[2,)。

（2）令x2t4，則關于x的方程f(x)0等價于關于t的方程g(t)t2(m4)t2m20在g(4)0[4,)內(nèi)有唯一解�！適280，∴只要g(4)0或4m即可，解得m1。

42

a23a22a26a422xlog25．若函數(shù)yxlog2的值恒小于零，求實數(shù)a的取值

a20a20范圍。

220．令log2a23a2a20t，原不等式等價于ytx222xt10恒成立，

14t0t0a23a2a23a2t2，即log220∴a20a2084t(t1)0t2或t1，

3(a1)(a2)(a20)020a1或a2a(,1)(2,4)。(a4)(4a3)a20或3a4404a

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